問 93 薬物Ａが初期濃度 A0
、速度定数 k で、0次反応、1次反応、2次反応のいずれ
かに従って分解するとする。これらの過程に関する記述として正しいのはどれか。
２つ選べ。
1 0次反応では、半減期は A0
によらず一定である。
2 1次反応では、Ａの濃度は時間に比例して減少する。
3 1次反応では、半減期が A0
に比例する。
4 2次反応では、半減期が A0
に反比例する。
5 反応次数によらず、半減期は k に反比例する。
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■ 正解
4, 5
■ 基本式の整理
薬物 A が初期濃度 A0、速度定数 k で分解するとき：
- 0次反応： \[ \frac{d[A]}{dt} = -k \Rightarrow [A] = A_0 – kt \] 半減期： \[ t_{1/2} = \frac{A_0}{2k} \]
- 1次反応： \[ \frac{d[A]}{dt} = -k[A] \Rightarrow [A] = A_0 e^{-kt} \] 半減期： \[ t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k} \]
- 2次反応（2A → … 型）： \[ \frac{d[A]}{dt} = -k[A]^2 \Rightarrow \frac{1}{[A]} = \frac{1}{A_0} + kt \] 半減期： \[ t_{1/2} = \frac{1}{kA_0} \]
■ 各選択肢の検討
● 1：0次反応では、半減期は A0 によらず一定である。（誤）
0次反応の半減期は \[ t_{1/2} = \frac{A_0}{2k} \] であり、A0 に比例して変化する。 したがって「A0 によらず一定」は誤り。
● 2：1次反応では、A の濃度は時間に比例して減少する。（誤）
1次反応では \[ [A] = A_0 e^{-kt} \] と指数関数的に減少する。時間に比例して直線的に減少するのは 0次反応である。 よってこの記述は誤り。
● 3：1次反応では、半減期が A0 に比例する。（誤）
1次反応の半減期は \[ t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k} \] であり、A0 に依存しない（一定）。 したがって「A0 に比例する」は誤り。
● 4：2次反応では、半減期が A0 に反比例する。（正）
2次反応の半減期は \[ t_{1/2} = \frac{1}{kA_0} \] であり、A0 に反比例する。 したがってこの記述は正しい。
● 5：反応次数によらず、半減期は k に反比例する。（正）
0次反応： \[ t_{1/2} = \frac{A_0}{2k} \] 1次反応： \[ t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k} \] 2次反応： \[ t_{1/2} = \frac{1}{kA_0} \] いずれも分母に k を持ち、t1/2 ∝ 1/k となる。 したがって「反応次数によらず、半減期は k に反比例する」は正しい。
■ まとめ
- 0次： [A] は時間に比例して減少、t1/2 ∝ A0/k
- 1次： [A] は指数関数的に減少、t1/2 = (ln2)/k（A0 に依存せず）
- 2次： t1/2 ∝ 1/(kA0)（A0 に反比例）
- よって正しいのは4, 5。
